概要

円周角と中心角

円に内接する四角形の角の性質

角度を測ってみよう。
・点Bを動かしてみよう。∠ABCの大きさは？
・その大きさと∠AOCの大きさとの関係は？
・点Aを動かしてみよう。∠ABCの大きさは？ ∠AOCは？
・そのときの2つの角度の関係は？
動かしても変わらないところ，何等かの関係が成り立っているところが発見できます

点Bを円周上で動かしてみよう。「∠Aはその対角∠Cの外角に等しい」という性質が，いつも成り立つことがわかります。
点Bを点Cにどんどん近づけて一致させると，接弦定理が出現します。
まったく違うと思われた２つの性質は，同じ仲間だったのですね。

動点がつくる三角形の面積

点Oが四角形の辺上を動くと，△ABOの面積はどのように変化するだろう。
・点Oを，辺BC上を右へ動かしてみよう。
・点Oを，辺CD，辺DA上を動かそう。
x軸に時間，y軸に面積をとってグラフにし，変化の様子を点Oの動きとともに調べます。

中点連結定理

長さを測ってから，点Aを動かしてみよう。変わらないところがあります。
長さが1/2，平行のようだ。
さあ，証明です。 幾何ソフトは証明まではしません。

線対称・点対称な図形

三角形の相似

頂点Aを動かすと，相似なまま２つの三角形は動きます。変わらない性質を調べます。

頂点Aを動かすと，相似なまま２つの三角形は動きます。変わらない性質を調べます。

関数のグラフ

画像の貼り付け

Cabri�UPlus は式を入力することにより，関数y=f (x)のグラフを描くことができます。

Cabri�UPlus は式を入力することにより，関数y=f (x)のグラフを描くことができます。

三角形の合同の利用

等積変形

2つの正方形が点Cで固定されています。点Fを動かして等しい辺を見つけます。

△PAB＋△PCDは平行四辺形ABCDの面積の何分のいくつでしょうか。点Pを動かして考えます

共通接線

メネラウスの定理

見た目の共通接線ではありません。2つの円の半径や中心を動かしたとき，やはり共通接線でなければいけません。

メネラウスの定理が成り立つことを，直線を動かしたり，△ABCを変形したりして確かめます。まさに任意の三角形や直線で成り立つことを実感します。

折りたたみ式ドアの扉の軌跡

放物線上を動く円

ワンマンバスの乗降口でよく見られる折りたたみ式ドアの扉の動きを描いたものです。線分PQが作る曲線(包絡線)が問題です。

放物線上に中心を持つ判形１の円が，放物線上を動きます。その円が描く包絡線を調べます。放物線にななりません。

だ円の定義

sin曲線

2点からの距離の和が一定な点Pの軌跡を考えます。PF＋PF'＝一定 これはだ円の定義です。軌跡がだ円になることを点Pを動かして確かめます。

円周上を一定の速度で回る点を考えます。（x軸からの角の大きさ，y座標）を座標とする点をとっていくと，図のように，なめらかなsin曲線が現れます。

サイクロイド曲線

グラフの接線の作図

地面を転がる車輪の周上に固定した1点は，車輪が転がるにつれ，特別な曲線をかきます (サイクロイドといいます)。実際に車輪を動かして，その形を見てみます。

この例は3次関数のグラフを式を入力して描き，グラフ上の点Aの接線を定義式にそって作図したものです。

線分の垂直2等分線の軌跡

カージオイド

点Qが円周上を動くとき，線分PQの垂直2等分線の動いた跡を調べます(点Pは固定)。このとき，包絡線は双曲線になります。点Pが円の内部にある場合は，だ円が現れます。

円周上の点Qにおける接線と半径OQに平行な直線の交点Rは，点Qを動かすとカージオイド曲線を描きます。Cabri�UPlusはその軌跡の方程式を求めることができます。

九点円

カ シムソン線の包絡線

九点円とフォイエルバッハの定理の図を作図したものです。Cabri�UPlusは紙に描くと煩雑になってどれが何を表すのか分からないような図も簡単に作図でき，しかも性質を保ったまま動かすことができます。

△ABCの辺あるいは延長上に，△ABCの外接円の周上の点から下ろした垂線の足の3点は，1直線上(シムソン線といいます)にあります。外接円の周上の点を動かすと，シムソン線の包絡線は図のような曲線を描きます(デルトイドといわれます)。

マクロの利用

正方形の内部に小さい正方形を描くという操作を作図し，マクロとして保存します。そのマクロを1つの大きな正方形に次々と適用したのが上図です。作成したツールはマクロとして保存できます。